社会的ジレンマに関する数理モデル (ノート）

"Spacial structure often inhibits the evolution of cooperation in the snowdrift game"

(Christoph Hauert and Michael Doebeli: Nature 428, 643 (2004))

モデル

• snowdrift modelとは
  • prisoner's dilemma model では利得(payoff)は，
  • snowdriftモデルでは

    ２人の運転手が吹きだまり(snowdrift)の両側に立ち往生してしまった場合を想定する．両側から協力してスコップで雪を取り除き始める(cooperate)か，片方がやってくれるのをまつ(defect)かの行動選択があり得る．payoffは，得られる利得bと労力cとで表されると考える．

    • 相手が協力的であって当人が利己的な場合のpayoff：
    • 両方が協力的な場合のpayoff：
    • 相手が利己的であって当人が協力的な場合のpayoff：
    • 両方とも利己的な場合のpayoff：

  系全体の協力費用対効果(cost-to-benefit)係数をと定義できる．この r を変えたときに，協力者の存在割合がどう変化するかと協力者の空間分布がどうなるかがこの論文でのテーマ．

• 格子(N=3 .. 8)

アップデートの方法

いわゆるreplicator dynamicsを考える．（それ以外にLearning dynamicsのモデルもある．¹）

• 更新するノード x, ランダムに相手 y をえらぶ。
• 利得 を計算．
  • 利得はすべての隣接サイトに対する利得の累積値
• xの状態を変化させる(yがxをtake overする）確率 を計算し，それに基づいて状態変化させる

  

  ただし，

  

  この定義で，確率が1を越えることはない．

• Pure Strategy

主な結果

• 同時更新と非同時更新がある(結果はさほどかわらない)
• PDでは，Coopは「丸い」クラスタを形成して，Defectorによる侵食がされにくい形になる．一方SGでは，Coopに囲まれたDefectorサイトは利得が大きくCoopになりにくい．かえってDefectorに囲まれたDefectorあるいは，ひとつだけの隣接CoopがいるDefectorはCoopになる可能性がある程度ある．結果として，Coopクラスターはひげ状になる．

"Scale-Free Networks Provide a Unifying Framework for the Emergence for Cooperation"

(F.C. Santos and J.M. Pacheco, Phys. Rev. Lett. 95 098104 (2005))

Barabasi and Albert(BA)のスケールフリーネットワーク(SF)上でのPDおよびSGモデルをシミュレーションした．

モデル

の確率で起こるとする．ただし，であり，PDの場合，，SGの場合，．

結果

• 有限なdefectorの優位性 b (PDの場合），費用対効果 r (SGの場合）において，正方格子上でよりも遥かにSFネットワークの方が高いCooperators(C)の割合が得られることがわかった．
• スケールフリーネットにおいては，平均リンク数 z が大きいほどCの割合が高い．

"Cooperation and community structure in social networks"

(L.Luthi, E. Pestelacci,M.Tomassini, Physica A 387 955 (2008))

概要

完全グラフやランダムグラフ上のreplicator dynamicsは平均場的に扱える．結果として，システムは一様で，微分方程式によってPopulationの変化は記述できる．

モデル

• ３つのネットワーク上でシミュレーション
  • BA Scale-Free
  • TSN model (R. Toivonen et.al., Physica A 371 851(2006))
  • GP network (M. Tomassini et.al., Genetic Program. Evolvable Machines 8 97 (2007)): Genetic Programming communityの研究者のつながりデータから得られたネットワーク
• 戦略のアップデートルール
  • Hauertらのモデルと同様． i が 最近接ノードの一つ j と利得を比較．ノード i が戦略を変える確率を次式で与える．

    これは，Santosらのモデルと規格化のしかたが違っている．(もっとも利得が高い最近接ノードの戦略をまねるモデルもある．Lozanoら(preprint))

  • 利得の計算が他のモデルと若干違っている．各ノードが一つの相手とのゲームで得られる最低の利得をとする．（PDでは，ノードがCのときS, DのときP）

結果

• Cのシェアが一番大きいのは，BA SF．
• 横軸にpayoffをとって，そのpayoffをもつノードの利得の和＝富(cumulative wealth)の分布関数を描くとCの方が広がった分布になる．前者は指数関数，後者は引き延ばされた指数関数(stretched exponential)になる．(Fig.3)
• あるノードのまわりにCが多いかDが多いかを調べると，同じ種類のノード同士が集まりやすい．特にCについては．（Table.2. しかし，テーブルからは読み取りづらい．）HDでは，比較的入り交じる．
• 3種のネットワークの構造的な差異は，クラスター係数とAssortativity係数で表される．TSNとGPはこの２つにおいてSFと大幅に異なる．２つの係数ともTSN, GPのはSFよりかなり大きい．）
• 次数を横軸にしたCの分布関数も調べている．系全体としてCが多い場合も少ない場合も，次数の高い方でCの割合が高いという結果になっている．

A simple rule for the evolution of cooperation on graphs and social networks

(H. Ohtsuki, C. Hauert, E. Lieberman and M. A. Nowak, Nature 441, 502 (2006))

• 数理生態学の研究グループによるもの
• 生物集団の進化モデル
  • リンク次数 k , リンク先ノードのうちCの数を i とすると，Cの報酬 P は ．Dの報酬はとする．つまり，Cはつながったノード全部に均等に c のcostを払い，となりのCからは b の利得(benefit)を受ける．Dはコストを払わない．（相互作用が対称でなくて良いのだろうか？）
  • 更に，報酬効果の強さ(intensity of selection) w を用いて，報酬をとする．
  • 下図のように対象のノードの各周辺ノードについて報酬を計算し，C,Dそれぞれのグループごとに合算する．それを, とし，対象ノードがCになる確率をとする．
  • 下の例では，以上であれば，Cが増殖することになる．そうなる条件は素朴な考察から が得られる．これは下図に示すように，規則的なネットワークでは完全に再現される．スケールフリーネットでもだいたい当っている．

    

    "Cooperation Prevails When Individuals Adjust Their Social Ties"

    (F.C. Santos, J.M. Pacheco andT. Lenaerts, PLOS Comp. Biol. 2, 1284 (2006))

    これまでのモデルは固定的なネット上のエージェントの戦略(strategy)に対するダイナミクスであったが，ネット自体も動的にしたモデルを考えている．

    • 初期条件：ランダムネットにC, Dを均等に配置
    • リンク(tie)を変化させるタイムスケール(, adaptiveのa)と戦略を変えるタイムスケール(, evolutionのe)を考え，その比をパラメータとする．
    • タイムステップごとに確率でtieの変化を，の確率で戦略の変化を行う．
    • 戦略の変化させる場合：

      変化させるノードAをランダムに選び，利得を比較する相手（Aにつながったノードからランダムに選ぶ．A, Bの累積利得（すべての最隣接ノードとの関係から計算した利得の和）をとして，のとき次の確率でBの戦略を受け入れる．

    • tieを変化させる場合
      • 比べる相手がCであるとき満足(satisfied)，そうでないときは不満と呼ぶ．
      • 図のような場合(AはCooperator, BはDefectorのとき)，Aは不満であり, Bは満足である．このとき，確率 でつなぎ変えを行う．つなぎ変えの相手は，Bとリンクしているノードからランダムに選ぶ．
      • もし，両方とも満足(両方ともCooperator)ならば何もしない．
      • 両方とも不満足(両方ともDefector)であれば，確率でAのつなぎ変えをし，確率でBのつなぎ変えをする．

    結果

    リンク換えの頻度が大きい( W 大）ほど，Cの割合が増える．

    "Cooperation, social networks, and the emergence of leadership in a prisoner's dilemma with adaptive local interactions" (もうひとつのネットワークつなぎ変えを含むモデル)

    (Martin G. Zimmermann and Victor M. Eguiluz, PRE 72, 056118 (2005))

    モデル

    i サイトの状態を とする．1がcooperatorをあらわす．

    ふつうのreplicator dynamics

    Payoffの値

    ""	C	D
    C
    D

    

    ステップ１（payoffの計算)

    
    ここでは i の次数，は最近接ノードの数．

    ステップ2 (戦略の更新)

    を i の最近接ノードの集合とする．
    

    ステップ３（つなぎ変え）

    i が不満な場合（）のみ，確率 p でつなぎ変えがおこる．もし， i が D ならば，近傍の一つの D と関係を切り，他のノードからランダムに選んだノードにつなぎ変える．ただし，自分へのリンクや２重リンクにはならないようにする．
    i が C の場合は，つなぎ変えをしない． C は保守的であり自発的なつなぎ変えインセンティブをもたないと考える．他からのつなぎ変えは受け入れる．(行動的なC, 公共的行動の伝道者はいてもいいのでは．)

    結果

    協力行動の拡大

    • 誘惑の利得bと平均次数Kをパラメータとして調べた．平衡状態でのCの割合をと書く．
    • の範囲で，どの値でも（初期状態によるが）の状態は出現する．
    • b が大きくなるとともには小さくなる．
    • 組み替え(adaptation)の確率が大きいと，Cは生き残りやすい． p が有限でも小さいと，平衡状態に近づくのに時間がかかる．
    • 同じ b に対して，Kが大きいほど，が大きい．(K=4,8,12について調べている．
    • （nonadaptive case)では，では，初期に一つでもDがいれば，すべてDになる状態が安定である．K=8, では，．²

    富の分配

    CとDの利得の分布をみた．

    • 分布関数のピーク位置も平均値もDの方が大きい．これは固定的なネットワークではおきない現象である．
    • Dは，利得向上のために頻繁につなぎかえを行う．Cとつながり，利用しようとする．（利にさとい）
    • 全体として，Cは増殖することが可能であるが，その場合でも全体としてはDに比べて貧しい．³

    リーダーと協力的エージェントのクラスタ

    • たくさんのエージェントとつながっていれば累積利得は大きいから，そのようなCは戦略を変化させることなく存在し続け，それにつながりをつけたDは，その利得を学んでCに変化する．結果として，Cのリーダーはリンクを集め，さらに利得が増える．
    • その傾向は， b が大きいほど顕著である． b が小さいときは，小リーダーが「乱立」．大きい b では，最大のリーダーが「一人勝ち」．
    • あるとき，Cのカスケードチェーンに属する上中位のCが他からつながってきたDにより改心させられたとき，そのカスケードチェーンをつたってDが増殖することがある．そのような雪崩現象により，は時間とともに振動する．Dリーダーは，しかし，まわりにCがいなくなるにつれ利得が減少する（新しいDリーダーからリンクがはられるまでは）．
    • 振動の回数は有限でおさまる．
      (C及びDそれぞれのノードのうちの最大利得をとする．)
      1. をもつ富裕なCがあると，Dのチェーンを吸収してしまう．
      2. チェーン上の利得差(payoff gap)がチェーンにそって減少しない場合，チェーンを上昇する撹乱を防ぐことができる．(Proposition 4の議論をトレースする必要あり)

    「行動変容」政策への適用・問題意識

    • ZE(Zimmermann & Eguiluz)の利得とは？
      • リーダーはオピニオンリーダー？ とすると利得は何にあたるか．
    • 非常につながりの薄い場合（駅周辺の駐輪問題のような），はdefectorが闊歩しやすい？ リンクは現実の何に対応するか．
    • 必ずしも「つながり」によるゲームだけではないだろう．場の影響は大きいはずだ．
    • 不利を承知で公共利益（ペアワイズではないもっと広い範囲の）優先という戦略をとるエージェントの存在は？

    TDMと社会的ジレンマ：交通問題解消における公共心の役割

    （社会的ジレンマの枠組みや，TDMにおける構造的方略と心理的方略のカテゴライズ，高次ジレンマなどのレビューを最初に行っている．）

    社会的ジレンマの範疇で捉えられる交通問題のもっとも原初的なものとして「 道路ネットワークジレンマ」を

    「社会的ジレンマの処方箋」

    (藤井聡，ナカニシヤ出版，2003)

    心理的方略

    学習：事実情報提供による変容

    経験誘発法：（試してみると意外とよい）

    コミュニケーション（"コトバ"による変容）

    「社会的ジレンマの解消のために最も必要とされているのは，人々の”公共心”の活性化である．」(p.258)

    その上で，課題として次の４つを挙げている．

    社会的価値と協力行動

    社会的な価値観と公共心，倫理性とは密接な関係があることが予想される

    より効果的な心理的方略の検討

    例として，「定期的に同一個人と繰り返しコミュニケーションを図る」，構造的方略と心理的方略のタイムリーに組み合わせるなど

    組織の協力行動

    実務適用事例の蓄積

    注目した点（ランダムに）

    - 内的動機（倫理性？）が活性化している状態では，報酬はかえってマイナスにはたらく

    • アンケートの事例 (p.189）
    • 「フレイ達は"原子力発電所を受け入れることを国家として必要ならば，それを受け入れることもやぶさかではない" という形の公共心(public spirit)が，報酬の提案によって駆逐されてしまい，結果として，原子力発電所という迷惑施設を受け入れることに反対する，という人々の利己的傾向を助長してしまったと議論している．」(p.191) ただし，内的動機(intrinsic motivation)がない場合には，補助金(補償金）は当該地域のサポート引き出すのに有効であるとフレイらは結論している．(B.S. Frey and F. Oberholzer-Gee, Am. Econ. Rev. 87 , 746 (1997))

    メモ

    • 心理的方略を数理モデルに取り入れるとすると，個人の行動関数（あるいはパラメータ値）が変化するということになるか
    • 実証性（モデルの妥当性を何によって検証するか）

    社会心理学者の一見解「日本の『安心』はなぜ消えたのか」（山岸俊男）

    • 超利己的な分子を仲間外れにする．(「いじめ」問題に関わって，「自発的な秩序形成のための『排除行動』）
    • 信頼の構造
      • 公正性(fairness)
      • 評判の力
        • ネットオークションでの評判 レモン市場にならない原因は，ネガティブな評判よりポジティブな評判を評価する方向に参加者がかわっていったことにある．
        • 評判には「追い出し」と「呼び込み」の２つの効果がある．
      • しかし，大きさがきまった集団の構造とインターネットオークションのような構成員の大きさが変化するシステムとはメカニズムがことなることに注意が必要だろう．

    The Cost of Price Incentives: An Empirical Analysis of Motivation Crowding-Out

    Bruno S. Frey and Felix Oberholzer-Gee (Am. Econ. Rev. 87, 746 (1997))

    補助金などprice incentiveが内在的な公共心を破壊することが（部分的にせよ）あることを，心理学的な知見に基づく数理的モデル（？）により示した論文．

    例として，原発立地域における住民意思が，補助金により私利的になり，公共心が失われる例をあげている．

    いわゆるデシ（Deci）理論の「住民意思」版

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    1. "Learning dyamics in social dilemmas" (M. W. Macy and A. Flache, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 99 7229 (2002))など

    2.
    

    3.
    

    

    

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    TOYOKI Hiroyasu Updated: 2015-10-03

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